１０－a　電子が受け取るエネルギーの計算

アインシュタインが示した次の関係式を導くには、３つのポイントがあります。

１）電子はｔ＝０から電磁場の力を受けて時刻ｔで速度ｖになったとして、その瞬間の電子をK系として座標をｘとします。そして、その時刻ｔから微小な時間ｄｔ後の電子をK'系とし、座標をｘ’、時刻をｔ’と考えます。

すると、K系での加速度をα、K'系での加速度をα’としますと、K系から見た電子の速度はｖ＋αｄｔで、Ｋ’系での電子の速度はv＋α’ｄｔ’と書けます。したがって、Ｋ系とＫ’系の速度の関係式は、前に示したように次のようになります。

これから次の関係式が得られます。

今は電子の運動はｃに比べて非常に小さいと考えていますので、この式の分母は１と見做せます。これから、次の関係式が得られます。

一方、ローレンツ変換の時間の変換式から、ｖがｃに比べて小さいという関係を考慮すると、次の式’が求まります。

これを上の式に代入してα’を求めると、次の式が得られます。

アインシュタインの論文の標識では、この式の分数の部分がβ^３となっています。この標識に従ってｗを計算すると、次のようになります。

２）ここで表立って見えませんが、電磁場についてのマックスウェル方程式が、ローレンツ変換によって変わらないことが証明できるという点が佉慮されています。この証明は専門的になるのでここでは述べませんが、詳しくは少し詳しい電磁気学の専門的な教科書を参照してください。

３）積分計算のテクニックです。上の式の一番右の積分を計算すればWが求まります。そこで計算の便利のためにｃ２を掛けてまたｃ２で割るということをしますと、次のように形を整えることができます。

さらにと置き換えて両辺をｚで微分しますと、となり、求める積分は次のようになります。　この値はです。したがって、定積分としては次の値が得られます。

これからアインシュタインが示した次の式が得られます。