３－ｂ　モーペルテュイの原理の補足

モーペルテュイの原理から、地上の重力を受けながら落下する質量ｍの物体の軌跡わかる、高校で習うニュートンの運動方程式を導く処方を次の図で説明します。

空気の抵抗などがない理想的な場合には、物体の持つ全体のエネルギーEは、運動エネルギーと重力ポテンシャルｍｇｙの和で表され、Ｅは一定の値です。（これはエネルギーが保存しているといいます）

Sの積分の中は運動エネルギーの二倍ですので、その一つ分をオレンジ色の矩形で囲んだように置き換えます。そして、カッコに囲まれた部分をｆと考えて、次のようにオイラーの方程式にあてはめます。その結果がオレンジ色で囲んだ方程式で、ニュートンの運動方程式がモーペルテュイの原理から導けることがわかります。

微分や偏微分の記号を説明もなく使っていますが、詳しいことはネットで色々ありますのでここでは省略しました。なお、数学の専門的な入門書では、小平邦彦博士の『解析入門』、岩波基礎数学選書（岩波書店）がユニークでお薦めです。