６－a 　補足

「モーペルテュイの原理」では、次のＳが最小になるように物体は運動します。この積分の（）の中は運動エネルギーでした。

運動エネルギーは全エネルギーEからポテンシャルエネルギーUを差し引いたものですから、この積分の中の部分は速度ｖを　　とすると、次のように書き直せます。

ここで距離の尺度を適当に変えると、距離も、エネルギーも形が変わるはずで、その量を´を付けて表すことにします。ただ、質量や時間の刻みは変わりません。そうすれば上の関係式は次のようになります。この二つの数式でｍは共通ですので、両方の式を合体すると、次のようになります。

長さの尺度だけを変えているので、次の関係は保たれています。　

ここで特に　とという関係式が成り立つ場合をとりあげ、更に、　または　という関係があるとします.

そのような特別の場合に限ると、次の関係が得られます。　と　　

そうすると、この場合、次のようなポテンシャルが導かれます。

ここで、見やすくするために、エネルギーの基準をずらせて、E＝４，E’＝-1/4と置けば、U(r)が復元力を生むポテンシャル、U(r')が重力ポテンシャルをあらわすことがわかります。

これは、二つのポテンシャルが見かけ違っても、その違いは私たちがいつも同じ長さの単位を使っているためで、それを適当に決めてよければ、相互に変換が可能な関係にあることがわかります。

このような性質を光学に応用する分野は「Transformation Optics」と呼ばれて研究が行われています。その様子は例えば、次の総説から知ることができます。