２８－a 補足

波動関数の規格化と直交性についてのメモ

水素原子の電子の運動についてのシュレーディンガー方程式を解く場合、波動方程式の解がもつ２つの重要な性質を使います。それらは次の数式で表現できます。

一つは、です。これは積分した値が時間的に変化しないこと、つまり、を意味します。これはｘ＜ｘ_１とｘ＞ｘ_２の範囲では電子が観測されることはないという前提を表します。

もう一つは、です。これは、外力が加わらない限り、水素原子の中で違ったエネルギーを持つ電子の運動は互いに干渉しない、つまり独立して運動し続けることを表します。

それぞれの関係式の導き方は以下の通りです。

最初の積分について：出発点は時間を含んだシュレーディンガー方程式、です。次のようにψ＊とψを両辺に掛けて、それぞれの辺を差し引いてVの関係する部分を消去します。ここでは変則的な表現をします。

、　

左辺の結果は、、

右辺の結果は、と整理できます。次に、技巧として次の式を計算します。、　　これらを差し引くと、右辺が整理できて、全体をまとめると、となります。

右辺の積分は、括弧の中のｘ＝ｘ_２での値から、ｘ_１での値を引いたものですが、この場所はｘの変化する境界ですから、ψはゼロとすべきなので、右辺はゼロです。（一般の波動の場合の例では、楽器の弦による音は端でゼロ、管の中の空気の音では、腹で変化がゼロです）これから、が得られます。

なお、三次元の場合は、ですので、右辺の体積積分は、ガウスの定理によって（この定理を一般的に初めて証明したのは、オストログラツキー（1801-1862）です）、Ψが意味を持つと決めた、体積Vを取り囲む領域の表面だけでの積分（表面積分）に変換できますので、表面上ではψはどこでもゼロという約束ですから、左辺がゼロになります。

後の方の関係式は、次のように導けます。

出発点は時間に依存しないシュレーディンガー方程式、です。

上の方法と似た計算を次のようにします。、

両辺をそれぞれ差し引くと、と整理できますので、上の場合と同様な式の変形から、右辺がゼロとなって、となります。E_１とE_２は違った値と考えてきましたので、カッコの中はゼロではなく、積分がゼロになります。したがって、が得られます。