２１　余談：COVID-19のパンデミック

前の節で紹介したフォトンの数（光の強度）の空間での変化を表す方程式は、自然現象や社会現象などにも応用されています。

ここではその一つの例を考えてみました。

数学としては、ある数ｙの変化の割合（微分係数）が、その数自身ｙに比例するときに成り立つ次の方程式を解いて、その数の変化を求めることです。レーザーの場合は、ｙがフォトンの数（光の強度）でした。また、ｇ＝a-bで、ｇ＞０なら増幅、ｇ＜０なら減衰でレーザにはなりません。

この方程式の解は指数関数、などで表されます。この関数は高校の数学で必ず習い、対数目盛でグラフにすると直線になります。指数関数が上の方程式の解になっているのは、この関数はｘで何度微分しても元の関数に比例するからです。右のグラフはｇ＝＋０．２、０，ー０．２の場合をそれぞれ描いたものです。図に挿入したグラフはｙを対数目盛で示したものです。

この方程式で表されるような現象は、自然現象だけでなく、身近に色々あることが知られています。

指数関数は元は複利計算から生まれたもので、このグラフからわかるように、もし高利貸しから金を借りるとa＞０なので、借金は爆発的に増えることが分かります。

別の例として、もし国が社会保障費や基礎研究の予算を毎年同じ率で削減すると、a＜０なので、しばらくするとすっかりなくなってしまうこともわかります。見かけは少ない率に見えても指数関数による変化は侮れないものです。

いま、私たちはCOVID-19というウイルスに生活が翻弄されています。そこで、この状況に照らして、この関数の重要さを二つの例で考えてみることにしました。一つはパンデミックになる理由、もう一つはｍＲＮＡワクチン（mPNA-lipid nanoparticle COVID-19 vaccines)の保存温度に関係することです。

１）パンデミックの発生について、

感染者数Nの増える率が、今の感染者の数Nに比例すると考えますと、上の方程式のNを感染者の数、ｘを時間として次の方程式でNの時間的な変化がおおよそ予想できます。　もし、ウイルスの寿命が短かったり、感染力が弱かったり、感染者もすぐに治るとすると、a＜０となってパンデミックは起きません。

しかし、何かの理由でa＞０になると、パンデミックが起きてしまいます。この方程式を基礎に、いろいろな効果を取り入れて、パンデミックを押さえたり、なくす戦略が練られているはずです。

流行の激しさを表す実効再生産数という指数が使われていて、この値が１以上でパンデミックが起きるとされています。複雑な効果を取り入れた指数なので、aとの関係はよくわかりませんが、数学的にはa＞０の場合に相当すると思われます。レーザーには増幅が必要ですが、パンデミックの方は困ります。

因みに、サングラスで光が弱くなる、放射線が鉛で遮蔽される現象では、a＜０で、ｘはガラスや鉛の板の表面からの位置を表します。

また放射性物質の半減期などの場合は、a＜０でｘは時間です。

また原子炉の中性子の連鎖反応を論じるときは、中性子の数に対して、a＞０でｘは時間です。

お金持ちにはお金が集まったり、行列ができる店ではますます行列が長くなるのもa＞０で、ｘは時間といえそうです。もっとも増えすぎると増加を抑える作用が一般に働きますので、お金持ちにも限界がありそうです。

２）ワクチンの保存温度について。

現在使われているCOVID-19のためのワクチンはうまくデザインされたｍＲＮＡを、ある種の脂肪分子でくるんだようなもので、そのナノサイズ粒子にまとめて、適当な溶剤に溶かしたもののようです。

このワクチンは、生産してから低温で保存することが必須とされ、生産地から皮下注射の現場までの輸送や下準備が面倒でコストもかかるのが難点です。

いま、皮下注射される前に注射器の中にあるワクチンに含まれる有効成分の密度をρとします。もし製造されたときと接種されるときとで有効成分に物理・化学・薬理的変化がなければρは同じです。しかし、低温で保存することが義務付けされているときには、ある温度より高いと有効成分の量が減ってしまって薬効がなくなるということです。ですからから、低温で保存しているワクチンを、注射の前に温度を上げて、体内に入って体温での薬効がう生まれるまでにρがどれだけ減るかは重要なことでしょう。そこで素人ながら次のように簡単化して考えてみました。

この場合、ρを次のように表現しました。

ｄρ/ｄｔ＝a（Ｔ）ρ

ここでｔは、低温で保存していたワクチンを、注射のために温度を上げ始めたときからの時間です。重要なことはa、（a＜０としています）が温度Ｔの関数であることです。

細かいことに目をつむれば、一般に熱的に何かが不安定になって壊れる確率は、exp(ーΔ/kT)に比例します。 ここでｋはボルツマン定数、Ｔは絶対温度で、摂氏０度がおよそ２７３Ｋです。つまり、a（T)～exp(ーΔ/kT)と表されます。

右の絵はある薬物がある温度で壊れる様子をエネルギーで表したものです。横軸は変化を示す量で、例えば分子が分離していく距離のようなものです。温度は分子の運動の激しさですから、温度が上がって揺らぎが高さΔのエネルギーの壁を超えるようになると、右の方（離れた方）がエネルギーが低いので分離して、結果的に薬効が低下するのではと思われます。

ファイザー製のワクチンの場合、希釈前の未開封の瓶の状態での保存は、摂氏－９０度から―６０度程度であるように決められています。これは大体ドライアイス温度の２００K程度ですので、ここでは仮にΔ～２００ｋとします。そうするとワクチンは不活性になる（壊れる）確率はexp(ー２００/T)となると思えます。

さて、この方程式を解かなくてもわかる重要なことがあります。この方程式を次のように変形します。　さらに、変形すると、次のようになります。こうすると、この方程式から、温度が変わるとρがどう変化するかを予想することができます。

ここで、はドライアイス温度（～２００K）から室温（～３００K）まで、薬剤溶液をどれほどの速さで温めるかを表す量です。

これからわかるように、ゆっくり温度を上げると、速く上げるときに比べて減る割合が増えることになります。a（T)も、２００Kから３００Kになると、１．４倍ほど大きくなり、その分壊れ方が速くなります。

従って、皮下注射をする前のワクチン製剤の温度の変化によっては、体内に同じ量を注射されても注射される前の手順によって、溶液の中の有効成分の量にばらつきが出るので、注射前にすでに壊れてしまった大量のワクチンの残骸ができて、それが薬効なないのにそのまま体内に流し込まれることになることも想像できます。

最近（２０２４．１０加筆）興味深い論文を知りました。

いろいろな統計によれば、現在主流となっているmRNAワクチンはパンデミックの抑制と重症化の防止に効果があったと評価されています。にもかかわらず、副作用の可能性や後遺症など様々な理由で、このタイプのワクチンの接種に対して懐疑的な意見もあります。

また、最近流行している新しい変異株は子供に感染する率が高まっているとも聞きます。これはこれまでは子供の感染率は大人よりかなり低いとされてきたことと違って、親や関係者にとっては悩ましい問題です。

その論文は今年８月に発表された研究論文です。

Abdul Suleman とPaula Vicente による”COVID-19 vaccination reluctance across Europe: Lessons for the future“　Vaccine　Volume 42, Issue 21, 30 August 2024, 126168”『欧州全域でのCOVID‑19ワクチン接種への消極的姿勢：将来への教訓』

この論文は、ワクチン接種に対する一定の項目についてのアンケート調査をEU諸国で集め、国、年齢、性別、職業、教育レベルなど多面的な切り口から、ワクチンを積極的に受け入れる、躊躇する、拒否するというセグメントに属する人たちの傾向を統計的に分析したものです。

筆者が特に注目した一部を和訳して紹介します。

『ワクチンに対する消極的な姿勢は、制度的な信頼とも関連している。国（4.3％）、地方自治体（3.5％）に対する信頼は「消極的」セグメントで最も低い。さらに、欧州連合（EU）も十分に信頼されていない（6.8％）、

制度的信頼は、国民に対する歴史的・政治的な扱いによって根付き、形成されるものであるため、受容、躊躇、拒否のスペクトラムに表れている可能性がある、

 「消極的」層の３４％は、ワクチンがどのように開発、試験、認可されるかについての完全な透明性が、ワクチン接種を受ける上で役割を果たす可能性があると認識している、

云々とあり、

人々が耳を傾け、アドバイスを求める尊敬される人物にアプローチすることは、ワクチンへの信頼の構築にプラスの影響を与える可能性がある』

アンケートの結果として、医療関係者が当面の統計結果に基づいてワクチンを許容する割合が多いのは理解できます。しかし、「ワクチンを含めて一般に薬剤にはある一定の副作用があるのは当然である」との認識から、被害を受けた人たちを当然のように切り捨てるという、上から目線がある限り、ワクチンへの一般の理解は深まらないのではと感じます。残念ながら現在、専門家とか学識経験者と俗に呼ばれる人々の姿勢によって、彼らへの信頼が薄らいでいると思われますので、特にこの点が懸念されます。

筆者の個人的な意見では、ワクチン接種の奨励とは別に、発症した人を治癒させる薬剤を高齢者中心ではなく、広い年齢層に安価に積極的に提供することが、医療としても社会的な損失を軽減するためにもはるかに有効ではないかと思います。また、ごく最近京都大学で開発されたという、変位するウイルスにも普遍的に効果のあるという「キラーT細胞」を応用した新しいアイデアの医薬品が早急に開発元の日本で使われるようになればと思いました。